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Persimmon08
V2EX  ›  OpenAI

这个问题,大家的 GPT 都能答对吗?

  •  
  •   Persimmon08 · 86 天前 · 2334 次点击
    这是一个创建于 86 天前的主题,其中的信息可能已经有所发展或是发生改变。

    当 x 趋近于 0 和正无穷时, 求 y= x ln(1+1/x) 的极限

    正确答案:
    当 x → 0 时,y 趋近于 0 ;
    当 x → +∞ 是,y 趋近于 1 。

    想要知道 GPT4 ,Claude Pro 和 Gemini Pro 在这类公式推导上的表现,请充值过的 v 友帮忙测试一下,谢谢!

    顺便帮大家自查一下高等数学(函数极限与洛必达法则)还记得多少,哈哈!

    46 条回复    2024-05-02 11:36:24 +08:00
    SWALLOWW
        1
    SWALLOWW  
       86 天前
    gpt4:
    .......
    .......
    综上所述,当
    𝑥
    x 趋近于正无穷时,极限值为 1 ;而当
    𝑥
    x 趋近于 0 时,极限值为 0 。
    kenneth104
        2
    kenneth104  
       86 天前
    GLM4

    当 x 趋近于 0 时,函数的极限为 0
    当 x 趋近于正无穷时,该函数的极限为 1
    zzzsy
        3
    zzzsy  
       86 天前
    llama3-70b-instruct-zh:
    当 x → 0 时,y → 1 ;
    当 x → +∞ 时,y → 0 。不太聪明🧐
    Voyty
        4
    Voyty  
       86 天前
    为了找到函数 \( y = x \ln(1 + \frac{1}{x}) \) 当 \( x \) 趋近于 0 和正无穷时的极限,我们可以分别考虑这两种情况。

    ### 当 \( x \) 趋近于正无穷时

    首先,令 \( u = \frac{1}{x} \),那么当 \( x \to \infty \) 时,\( u \to 0 \)。此时,函数可以重写为:
    \[ y = \frac{\ln(1 + u)}{u} \]
    其中 \( u = \frac{1}{x} \)。

    当 \( u \to 0 \) 时,我们可以使用泰勒展开( Taylor expansion )对 \(\ln(1+u)\) 进行近似:
    \[ \ln(1 + u) \approx u \]
    因此,
    \[ \frac{\ln(1 + u)}{u} \approx \frac{u}{u} = 1 \]

    所以当 \( x \to \infty \) 时,\( y \) 趋近于 1 。

    ### 当 \( x \) 趋近于 0 时

    这部分需要小心处理。当 \( x \to 0^+ \)(从正数一侧接近 0 )时,\( u = \frac{1}{x} \to \infty \)。此时,我们同样考虑 \( \ln(1 + u) \):

    当 \( u \to \infty \) 时,\(\ln(1+u)\) 的增长速度慢于 \( u \) 本身。因此,
    \[ \ln(1 + u) \approx \ln(u) \]
    所以,
    \[ y = \frac{\ln(1 + u)}{u} \approx \frac{\ln(u)}{u} \]

    我们知道对于很大的 \( u \),\( \ln(u) \) 相对于 \( u \) 增长得慢得多。实际上,由于
    \[ \lim_{u \to \infty} \frac{\ln(u)}{u} = 0 \]
    (这可以通过洛必达法则或者直观理解 \(\ln(u)\) 的增长速度不及 \( u \) 的增长速度来证明。)

    因此,当 \( x \to 0^+ \) 时,\( y \to 0 \)。

    ### 总结
    - 当 \( x \to \infty \) 时,\( y \to 1 \)。
    - 当 \( x \to 0^+ \) 时,\( y \to 0 \)。
    goodryb
        5
    goodryb  
       86 天前
    qwen 说两种情况结果都是 0 ,看起来也不太聪明的样子

    https://tongyi.aliyun.com/qianwen/share?shareId=43a19b2b-c2ea-404d-a21d-78eaa24dc723
    hooych
        6
    hooych  
       86 天前
    0/0 型、∞/∞型 都先洛一下再说。

    llama3 答都是 0 ,不太聪明
    hooych
        7
    hooych  
       86 天前
    出乎意料的是,Phi-3 mini 知道用 L'Hôpital's Rule ,但是当 x 趋近于 正无穷时答错了,回答了 1/2
    codebs
        8
    codebs  
       86 天前
    总结:
    当 趋近于正无穷时,极限为 1 。
    当 趋近于 时,极限为 0 。
    当 趋近于 时,函数未定义。
    ayase252
        9
    ayase252  
       86 天前
    gemini pro

    Here's how to find the limits of x*ln(1+1/x) as x approaches 0 and positive infinity:

    Case 1: x approaches 0

    We cannot directly substitute x = 0 into the expression, as it results in an indeterminate form. Let's use L'Hôpital's rule:

    Rewrite the expression:
    x*ln(1+1/x) = ln(1+1/x) / (1/x)
    Now the form is suitable for L'Hôpital's rule (both numerator and denominator approach 0 as x approaches 0).

    Apply L'Hôpital's Rule:
    lim (x->0) [ln(1+1/x) / (1/x)] = lim (x->0) [d/dx(ln(1+1/x)) / d/dx(1/x)]
    = lim (x->0) [-1/(x+x^2) / (-1/x^2)]
    = lim (x->0) [x / (1+x)] = 0

    Therefore, the limit of x*ln(1+1/x) as x approaches 0 is 0.

    Case 2: x approaches positive infinity

    Rewrite the expression:
    x*ln(1+1/x) = ln(1 + 1/x) / (1/x)

    Again, this is an indeterminate form (both numerator and denominator approach 0 as x approaches infinity).

    Apply L'Hôpital's Rule:
    lim (x-> ∞) [ln(1 + 1/x) / (1/x)] = lim (x-> ∞) [d/dx(ln(1 + 1/x)) / d/dx(1/x)]
    = lim (x-> ∞) [-1/(x+x^2) / (-1/x^2)]
    = lim (x-> ∞) [x / (x+1)]

    = 1 (dividing both numerator and denominator by x)

    Therefore, the limit of x*ln(1+1/x) as x approaches positive infinity is 1.
    hhjuteman
        10
    hhjuteman  
       86 天前
    Here is how we can find the limit of y = x ln(1 + 1/x) as x approaches 0 and positive infinity:

    Limit as x → 0⁺
    As x approaches 0 from the right side, 1/x approaches positive infinity. So we can rewrite the limit:
    lim x→0⁺ x ln(1 + 1/x) = lim x→0⁺ x ln(1/x)

    Now, using the properties of logarithms, ln(1/x) = -ln(x). So:
    = lim x→0⁺ -x ln(x)

    This is an indeterminate form of type 0 ⋅ ∞. We can use L'Hôpital's rule to evaluate it:
    = lim x→0⁺ -ln(x) - 1 = -∞

    Therefore, lim x→0⁺ x ln(1 + 1/x) = -∞

    Limit as x → +∞
    As x approaches positive infinity, 1/x approaches 0. Using the fact that ln(1+u) ≈ u for small u:
    lim x→+∞ x ln(1 + 1/x) ≈ lim x→+∞ x ⋅ 1/x = lim x→+∞ 1 = 1

    Therefore, lim x→+∞ x ln(1 + 1/x) = 1

    In summary:

    As x → 0⁺, y = x ln(1 + 1/x) → -∞
    As x → +∞, y = x ln(1 + 1/x) → 1


    claude3 opus 很准。
    hhjuteman
        11
    hhjuteman  
       86 天前
    @hhjuteman 看了眼答案好像不准,不过我数学水平已经完全退化了,也不知道哪里有问题
    mumbler
        12
    mumbler  
       86 天前
    初中以上的数学目前还没法
    gxt92
        13
    gxt92  
       86 天前
    claude-3-opus-20240229
    当 x 趋近于 0 时,y 的极限为 0 ;当 x 趋近于正无穷时,y 的极限为 1 。
    claude-3-haiku-20240307
    当 x 趋近于 0 和正无穷时,函数 y = x ln(1+1/x) 的极限都是 1
    claude-3-sonnet-20240229
    当 x 趋近于 0 和正无穷时,极限 y = x ln(1+1/x) 的值均为 1 。
    貌似只有 opus 是对的
    mooooooooooe
        14
    mooooooooooe  
       86 天前
    用的 gpt plus 的 math gpts 回答的挺准确的甚至给出了 python 代码,v 站不支持 LaTeX 格式😅

    import sympy as sp

    x = sp.symbols('x')
    expr = x * sp.log(1 + 1/x)

    # 当 x 趋近于 0+ 时
    limit_zero = sp.limit(expr, x, 0, dir='+')

    # 当 x 趋近于 正无穷时
    limit_infinity = sp.limit(expr, x, sp.oo)

    limit_zero, limit_infinity
    lxyv
        15
    lxyv  
       86 天前
    kimi

    为了求解函数 \( y = x \ln(1 + \frac{1}{x}) \) 当 \( x \) 趋近于 0 和正无穷时的极限,我们可以分别考虑这两个情况。

    ### 当 \( x \) 趋近于 0 时

    当 \( x \) 趋近于 0 时,我们有:

    \[ y = x \ln\left(1 + \frac{1}{x}\right) \]

    由于 \( \ln(1) = 0 \),我们可以将 \( 1 + \frac{1}{x} \) 展开为 \( 1 + \frac{1}{x} = \frac{x}{x} + \frac{1}{x} = x + \frac{1}{x} \),然后应用对数的性质:

    \[ y = x \ln\left(x + \frac{1}{x}\right) \]

    当 \( x \) 趋近于 0 时,\( \frac{1}{x} \) 趋近于正无穷,因此 \( x + \frac{1}{x} \) 趋近于 \( \frac{1}{x} \),所以:

    \[ y \to 0 \ln\left(\frac{1}{x}\right) \]

    由于对数函数 \( \ln \) 在 \( x \) 趋近于 0 时是无穷小量的高阶,所以:

    \[ \lim_{x \to 0} y = \lim_{x \to 0} 0 \cdot \ln\left(\frac{1}{x}\right) = 0 \cdot (-\infty) = 0 \]

    ### 当 \( x \) 趋近于正无穷时

    当 \( x \) 趋近于正无穷时,我们有:

    \[ y = x \ln\left(1 + \frac{1}{x}\right) \]

    由于 \( \frac{1}{x} \) 趋近于 0 ,我们可以利用对数的泰勒展开:

    \[ \ln(1 + \epsilon) = \epsilon - \frac{\epsilon^2}{2} + o(\epsilon^2) \]

    其中 \( \epsilon = \frac{1}{x} \),当 \( x \) 趋近于正无穷时,\( \epsilon \) 趋近于 0 。因此:

    \[ y = x \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{2x^2} + o\left(\frac{1}{x^2}\right) \right) \]

    \[ y = 1 - \frac{1}{2x} + o\left(\frac{1}{x}\right) \]

    由于 \( o\left(\frac{1}{x}\right) \) 表示比 \( \frac{1}{x} \) 更高阶的无穷小量,当 \( x \) 趋近于正无穷时,这一项将趋近于 0 。因此:

    \[ \lim_{x \to \infty} y = 1 - 0 = 1 \]

    综上所述,函数 \( y = x \ln(1 + \frac{1}{x}) \) 的极限在 \( x \) 趋近于 0 时为 0 ,在 \( x \) 趋近于正无穷时为 1 。
    justsomac
        16
    justsomac  
       86 天前
    免费 claude:
    ```
    当 x 趋近于 0 时:
    利用洛必达法则,对 y=x ln(1+1/x)求极限。
    lim(x→0) [x ln(1+1/x)] = lim(x→0) [ln(1+1/x)] / [1/x]
    = lim(x→0) [(1+1/x)^(-1)] (利用对数导数公式)
    = lim(x→0) [1/(1+1/x)]
    = 1 (利用简单加减乘除求极限法则)
    因此,当 x 趋近于 0 时,y=x ln(1+1/x)的极限为 0 。
    当 x 趋近于正无穷时:
    lim(x→+∞) [x ln(1+1/x)] = lim(x→+∞) ln(1+1/x) / [1/x] (利用洛必达法则)
    = lim(x→+∞) [(1+1/x)^(-1)] (利用对数导数公式)
    = lim(x→+∞) 1/(1+1/x)
    = 1 (利用无穷小比较原理)
    因此,当 x 趋近于正无穷时,y=x ln(1+1/x)的极限为 1 。
    综上所述:
    lim(x→0) [x ln(1+1/x)] = 0
    lim(x→+∞) [x ln(1+1/x)] = 1
    ```
    lihaokey
        17
    lihaokey  
       86 天前
    我的 GPT4 为啥说都是 1
    glaucus
        18
    glaucus  
       86 天前
    @lxyv 为什么我问 kimi 的回答是无论 x 趋近于 0 还是正无穷,函数的极限都是 1 。
    lihaokey
        19
    lihaokey  
       86 天前
    微软 copilot 的回答:正在执行任务:

    求 y= x ln(1+1/x) 当 x 趋近于 0 和正无穷时的极限


    当 ( x ) 趋近于 0 时,( y = x \ln(1+\frac{1}{x}) ) 的极限是 0 。

    当 ( x ) 趋近于正无穷时,( y = x \ln(1+\frac{1}{x}) ) 的极限是 1 。

    如果您有其他数学问题或需要进一步的帮助,请告诉我!
    Track13
        20
    Track13  
       86 天前
    gemini-pro

    **当 x 趋近于 0 时:**

    使用洛必达法则:

    ```
    lim (x->0) x ln(1+1/x) = lim (x->0) (ln(1+1/x)) / (1/x) = lim (x->0) 1/(1+1/x) * (-1/x^2) = 0
    ```

    **当 x 趋近于正无穷时:**

    使用等价无穷小:

    ```
    ln(1+1/x) ~ 1/x
    ```

    因此:

    ```
    lim (x->∞) x ln(1+1/x) = lim (x->∞) x * (1/x) = lim (x->∞) 1 = 1
    ```

    因此,极限为:

    ```
    lim (x->0) x ln(1+1/x) = 0
    lim (x->∞) x ln(1+1/x) = 1
    ```
    lihaokey
        21
    lihaokey  
       86 天前
    我要 copilot 给出的推导过程:当 ( x ) 趋近于 0 时,函数 ( y = x \ln(1+\frac{1}{x}) ) 可以重写为 ( y = \ln((1 + \frac{1}{x})^x) )。根据 ( e ) 的定义,当 ( x ) 趋近于 0 时,( (1 + \frac{1}{x})^x ) 趋近于 ( e^1 ),即 ( e )。因此,( \ln(e) ) 是 1 ,但由于 ( x ) 乘以 ( \ln(e) ),结果是 ( x ) 趋近于 0 ,所以极限是 0 。

    当 ( x ) 趋近于正无穷时,( (1 + \frac{1}{x})^x ) 趋近于 ( e^0 ),即 1 。因此,( \ln(1) ) 是 0 ,所以极限是 1 。
    min
        22
    min  
       86 天前
    Claude-3-Opus:

    好的,我们来解决这个问题。我们需要分别计算 y = x ln(1+1/x) 在 x 趋近于 0 和正无穷时的极限。

    第一步:当 x 趋近于 0 时。

    令 t = 1/x,则当 x 趋近于 0 时,t 趋近于正无穷。
    原式可以写成:
    lim(x→0) x ln(1+1/x) = lim(t→∞) ln(1+t)/t

    使用洛必达法则,对分子和分母分别求导:
    (ln(1+t))' / t' = 1/(1+t) / 1 = 1/(1+t)

    当 t 趋近于正无穷时,1/(1+t) 趋近于 0 。
    所以,lim(x→0) x ln(1+1/x) = 0

    第二步:当 x 趋近于正无穷时。

    lim(x→∞) x ln(1+1/x) = lim(x→∞) ln((1+1/x)^x)

    令 t = 1/x,则当 x 趋近于正无穷时,t 趋近于 0 。
    (1+1/x)^x = (1+t)^(1/t)

    当 t 趋近于 0 时,(1+t)^(1/t) 趋近于 e 。
    所以,lim(x→∞) x ln(1+1/x) = ln(e) = 1

    综上所述:

    当 x 趋近于 0 时,y = x ln(1+1/x) 的极限为 0 。
    当 x 趋近于正无穷时,y = x ln(1+1/x) 的极限为 1 。
    --------------------------------------------------------------------------------------
    GPT-4:

    要解决这个问题,我们需要找到函数

    =

    ln

    (
    1
    +
    1

    )
    y=xln(1+
    x
    1

    ) 当

    x 趋近于 0 和正无穷时的极限。我们将分步来解决这个问题。



    x 趋近于 0 时
    首先,我们可以通过变量替换来简化极限。令

    =
    1

    t=
    x
    1

    ,则当

    x 趋近于 0 时,

    t 趋近于正无穷。原函数变为:


    =

    ln

    (
    1
    +
    1

    )
    =
    1

    ln

    (
    1
    +

    )
    y=xln(1+
    x
    1

    )=
    t
    1

    ln(1+t)
    我们需要求解的极限变为:

    lim




    ln

    (
    1
    +

    )

    t→∞
    lim


    t
    ln(1+t)


    利用洛必达法则,我们可以对分子和分母分别求导:

    lim




    ln

    (
    1
    +

    )

    =
    lim







    (
    ln

    (
    1
    +

    )
    )



    (

    )
    =
    lim




    1
    1
    +

    1
    =
    lim




    1
    1
    +

    =
    0
    t→∞
    lim


    t
    ln(1+t)

    =
    t→∞
    lim


    dt
    d

    (t)
    dt
    d

    (ln(1+t))

    =
    t→∞
    lim


    1
    1+t
    1



    =
    t→∞
    lim


    1+t
    1

    =0
    因此当

    x 趋近于 0 时,

    =

    ln

    (
    1
    +
    1

    )
    y=xln(1+
    x
    1

    ) 的极限为 0 。



    x 趋近于正无穷时
    现在考虑

    x 趋近于正无穷的情况。原函数仍为:


    =

    ln

    (
    1
    +
    1

    )
    y=xln(1+
    x
    1

    )
    我们可以将
    ln

    (
    1
    +
    1

    )
    ln(1+
    x
    1

    ) 进行泰勒展开:

    ln

    (
    1
    +
    1

    )

    1


    1
    2

    2
    +

    (
    1

    3
    )
    ln(1+
    x
    1

    )≈
    x
    1


    2x
    2

    1

    +O(
    x
    3

    1

    )
    所以,原函数可近似为:




    (
    1


    1
    2

    2
    )
    =
    1

    1
    2

    y≈x(
    x
    1


    2x
    2

    1

    )=1−
    2x
    1




    x 趋近于正无穷时,
    1
    2

    2x
    1

    趋近于 0 ,因此:



    1

    1
    2


    1
    y≈1−
    2x
    1

    →1
    所以当

    x 趋近于正无穷时,

    =

    ln

    (
    1
    +
    1

    )
    y=xln(1+
    x
    1

    ) 的极限为 1 。

    结论


    x 趋近于 0 时,极限为 0 。


    x 趋近于正无穷时,极限为 1 。
    min
        23
    min  
       86 天前
    Gemini-1.5-Pro

    好的,我来独立解决这个问题。

    分析:
    我们需要分别计算 $y = x \ln(1+\frac{1}{x})$ 在 $x$ 趋近于 0 和正无穷时的极限。

    当 x 趋近于 0 时:
    变量替换: 令 $t = \frac{1}{x}$,则当 $x$ 趋近于 0 时,$t$ 趋近于正无穷。原式变为:
    lim



    0

    ln

    (
    1
    +
    1

    )
    =
    lim




    ln

    (
    1
    +

    )

    lim
    x→0

    xln(1+
    x
    1

    )=lim
    t→∞


    t
    ln(1+t)



    洛必达法则: 由于 $\lim_{t \to \infty} \ln(1+t) = \infty$ 且 $\lim_{t \to \infty} t = \infty$,我们可以应用洛必达法则:
    lim




    ln

    (
    1
    +

    )

    =
    lim




    1
    1
    +

    1
    =
    lim




    1
    1
    +

    =
    0
    lim
    t→∞


    t
    ln(1+t)

    =lim
    t→∞


    1
    1+t
    1



    =lim
    t→∞


    1+t
    1

    =0

    因此,当 $x$ 趋近于 0 时,$y$ 的极限为 0 。

    当 x 趋近于正无穷时:
    变量替换: 令 $t = \frac{1}{x}$,则当 $x$ 趋近于正无穷时,$t$ 趋近于 0 。原式变为:
    lim





    ln

    (
    1
    +
    1

    )
    =
    lim



    0
    ln

    (
    1
    +

    )

    lim
    x→∞

    xln(1+
    x
    1

    )=lim
    t→0


    t
    ln(1+t)



    重要极限: 我们知道 $\lim_{t \to 0} (1+t)^{\frac{1}{t}} = e$,因此:
    lim



    0
    ln

    (
    1
    +

    )

    =
    ln

    (
    lim



    0
    (
    1
    +

    )
    1

    )
    =
    ln

    (

    )
    =
    1
    lim
    t→0


    t
    ln(1+t)

    =ln(lim
    t→0

    (1+t)
    t
    1


    )=ln(e)=1

    因此,当 $x$ 趋近于正无穷时,$y$ 的极限为 1 。

    结论:
    当 $x$ 趋近于 0 时,$y = x \ln(1+\frac{1}{x})$ 的极限为 0 。
    当 $x$ 趋近于正无穷时,$y = x \ln(1+\frac{1}{x})$ 的极限为 1 。
    min
        24
    min  
       86 天前
    @Claude-3-Opus 请比较上面三种不同的解法


    Claude-3-Opus:

    上述三种解法虽然细节略有不同,但整体思路是一致的。它们都分别计算了 y = x ln(1+1/x) 在 x 趋近于 0 和正无穷时的极限。

    对于 x 趋近于 0 的情况,三种解法都使用了变量替换 t = 1/x,将原问题转化为求 lim(t→∞) ln(1+t)/t 的极限。然后都运用了洛必达法则,对分子分母分别求导,得出极限为 0 。

    对于 x 趋近于正无穷的情况,我的解法和 Gemini-1.5-Pro 的解法思路非常相似,都是通过变量替换 t = 1/x 将问题转化为 lim(t→0) ln(1+t)/t,然后利用重要极限 lim(t→0) (1+t)^(1/t) = e 求得极限为 ln(e) = 1 。

    GPT-4 的解法在处理 x 趋近于正无穷时略有不同。它先将 ln(1+1/x) 进行泰勒展开,然后再求极限。这种方法虽然合理,但相比其他两种解法略显复杂。

    总的来说,三种解法殊途同归,都正确地求出了所需的极限。我和 Gemini-1.5-Pro 的解法更简洁直观一些。但 GPT-4 给出了一种不同的思路,这对拓宽我们的思维方式也有帮助。
    Peikon
        25
    Peikon  
       86 天前
    手子快意:

    为了找到当 x 趋近于 0 和正无穷时函数 y = x ln(1 + 1/x) 的极限,我们可以分别考虑这两种情况。

    当 x 趋近于 0 时:
    当 x 接近 0 时,表达式 1 + 1/x 接近于 1 。在数学中,ln(1) 是 0 ,因为 e^0 = 1 。所以我们可以期望 x ln(1 + 1/x) 当 x 趋近于 0 时会趋近于 0 。

    为了正式地计算这个极限,我们可以将极限表示为:

    [ \lim_{x \to 0} x \ln(1 + \frac{1}{x}) ]

    利用洛必达法则(因为 x 乘以 ln(1 + 1/x) 会在 x=0 时导致不确定的形式 0*∞),我们有:

    [ \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + \frac{1}{x})}{\frac{1}{x}} ]

    由于当 x 趋近于 0 时,1 + 1/x 趋近于 1 ,ln(1 + 1/x) 趋近于 ln(1) = 0 ,同时分母 1/x 趋近于正无穷。

    所以,当 x 趋近于 0 时,y = x ln(1 + 1/x) 的极限是:

    [ \lim_{x \to 0} x \ln(1 + \frac{1}{x}) = 0 ]

    当 x 趋近于正无穷时:
    当 x 趋近于正无穷时,1/x 趋近于 0 。对数和指数函数在 (0, 正无穷) 的区间内是连续且单调的,所以 ln(1 + 1/x) 当 1/x 趋近于 0 时趋近于 ln(1) = 0 。

    因此,y = x ln(1 + 1/x) 在 x 趋近于正无穷时的极限是:

    [ \lim_{x \to \infty} x \ln(1 + \frac{1}{x}) = \lim_{x \to \infty} x \cdot 0 = 0 ]

    所以,无论 x 趋近于 0 还是正无穷,函数 y = x ln(1 + 1/x) 的极限都是 0 。
    GGBond2001
        26
    GGBond2001  
       85 天前
    gpt4 出错了
    gpt4 turbo 做对了
    GGBond2001
        27
    GGBond2001  
       85 天前
    @GGBond2001 gpt4-32k 也做对了, 就 gpt4-8k 没做对
    param
        28
    param  
       85 天前 via Android
    用 wolfram alpha 插件
    Persimmon08
        29
    Persimmon08  
    OP
       85 天前
    @Livid @min 能不能把排版出问题的两条删掉,影响后续 v 友得阅读
    Persimmon08
        30
    Persimmon08  
    OP
       85 天前
    @zzzsy 该充值 GPT4 了
    Persimmon08
        31
    Persimmon08  
    OP
       85 天前
    @kenneth104
    @SWALLOWW 表现不错,值得信赖
    Persimmon08
        32
    Persimmon08  
    OP
       85 天前
    @min 大兄弟,你这是都充值 claude 和和 gemini 了吗,一个月多钱呢,你这两条排版也太拉跨了
    Persimmon08
        33
    Persimmon08  
    OP
       85 天前
    @Peikon 这答错了呀,赶紧换下一家
    Persimmon08
        34
    Persimmon08  
    OP
       85 天前
    @goodryb 确实不太聪明
    Persimmon08
        35
    Persimmon08  
    OP
       85 天前
    @justsomac 免费 claude 都能答对,明天再问问?
    Persimmon08
        36
    Persimmon08  
    OP
       85 天前
    @lihaokey 基于 gpt4 得 copilot 还是表现不错
    Persimmon08
        37
    Persimmon08  
    OP
       85 天前
    @Track13 充钱就是不一样,一个月多钱呢?
    Persimmon08
        38
    Persimmon08  
    OP
       85 天前
    @hhjuteman 确实,提醒他用洛必达法则也许能对
    Persimmon08
        39
    Persimmon08  
    OP
       85 天前
    @lihaokey 多问他几次,10 次会有 3 次答错
    wwhc
        40
    wwhc  
       85 天前
    Mixtral 8x7b Q6_K:
    当 x 趋近于 0 时,有:

    lim_{x to 0^+} y = lim_{x to 0^+} x ln(1+frac{1}{x})=0

    当 x 趋近于正无穷大时,有:

    begin{aligned}
    lim_{x to +infty} y &= lim_{x to +infty} x ln(1+frac{1}{x})
    &= lim_{x to +infty} frac{ln(1+frac{1}{x})}{frac{1}{x}} &text{(使用}frac{0}{0}text{型拆分)}
    &= lim_{x to +infty} frac{frac{-1}{x^2(1+frac{1}{x})}}{frac{-1}{x^2}} &text{(应用}mathrm{l'Hospital rule)}
    &= 1
    end{aligned}

    因此,当 x 趋近于 0 时,lim_{x to 0^+} y = 0 ;当 x 趋近于正无穷大时,lim_{x to +infty} y = 1 。
    jiaxinbinggan
        41
    jiaxinbinggan  
       85 天前 via iPhone
    [1]: https://zh.numberempire.com/limitcalculator.php ""
    [2]: https://zhuanlan.zhihu.com/p/381163118 ""
    [3]: https://www.zhihu.com/question/51565064 ""
    [4]: https://zhidao.baidu.com/question/924611196728740179.html ""
    [5]: https://zhidao.baidu.com/question/622785830157996292.html ""

    当 \( x \) 趋近于 0 和正无穷时,函数 \( y = x \ln(1+\frac{1}{x}) \) 的极限可以通过洛必达法则或等价无穷小的概念来求解。下面是这两个极限的计算过程:

    1. 当 \( x \) 趋近于 0 时:
    由于 \( \frac{1}{x} \) 趋近于无穷大,\( 1+\frac{1}{x} \) 趋近于无穷大,所以 \( \ln(1+\frac{1}{x}) \) 趋近于 0 。因此,\( y \) 的极限是 \( 0 \)。

    2. 当 \( x \) 趋近于正无穷时:
    我们可以使用洛必达法则,因为 \( x \) 和 \( \ln(1+\frac{1}{x}) \) 都趋近于无穷大。通过对分子和分母同时求导,我们可以得到极限值。

    具体计算如下:

    - 对于 \( x \) 趋近于 0 的情况:
    $$ \lim_{x \to 0} x \ln(1+\frac{1}{x}) = \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}} $$
    应用洛必达法则,得到:
    $$ \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1+\frac{1}{x}} \cdot (-\frac{1}{x^2})}{-\frac{1}{x^2}} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{1+\frac{1}{x}} = 1 $$

    - 对于 \( x \) 趋近于正无穷的情况:
    $$ \lim_{x \to \infty} x \ln(1+\frac{1}{x}) = \lim_{x \to \infty} \frac{\ln(1+\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}} $$
    同样应用洛必达法则,得到:
    $$ \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1+\frac{1}{x}} \cdot (-\frac{1}{x^2})}{-\frac{1}{x^2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{1+\frac{1}{x}} = 1 $$

    因此,当 \( x \) 趋近于 0 和正无穷时,\( y = x \ln(1+\frac{1}{x}) \) 的极限都是 1 。

    源: 与必应的对话,2024/4/26
    (1) 极限计算器 - 数字帝国. https://zh.numberempire.com/limitcalculator.php.
    (2) 2022 考研数学复习指导:求极限的 16 种方法总结及例题 .... https://zhuanlan.zhihu.com/p/381163118.
    (3) Lim ( x 趋向正无穷)( 1+1/x ) x 次方=e 那当 x 趋向于 0 时 .... https://www.zhihu.com/question/51565064.
    (4) lim(x→0) ln(1+x)/x 求极限,不要用洛必达法则,请写下 .... https://zhidao.baidu.com/question/924611196728740179.html.
    (5) lnx 在 x 趋于零时的极限_百度知道. https://zhidao.baidu.com/question/622785830157996292.html.
    Track13
        42
    Track13  
       85 天前 via Android
    @Persimmon08 Gemini1.0 现在是免费的,不如 gpt4
    qingyingwan
        43
    qingyingwan  
       85 天前
    所有的 GPT 解答推理逻辑类问题,数学相关问题,都是垃圾
    darson
        44
    darson  
       85 天前
    数学问题是完全不行的,基本就是背答案,让他背定理可以,稍微灵活运用一点都不行,CoT 无论怎么 chain 都不行,它并没有真的理解前后步骤的逻辑和数学运算,稍微复杂一点就胡说八道了。

    另外试过 wolfram alpha 的插件,会好一点,但是有的题插件答错,wolfram 的官网却能答对。
    Metatron7
        45
    Metatron7  
       85 天前
    您的答案是正确的。当 x 趋近于 0 和正无穷时,函数 y=x ln(1+1/x) 的极限分别为 0 和 1 。
    以下是详细的解释:
    情况一:x 趋近于 0
    当 x 趋近于 0 时,1/x 趋近于正无穷,ln(1+1/x) 也趋近于正无穷。然而,x 趋近于 0 的速度比 ln(1+1/x) 趋近于正无穷的速度快。因此,它们的乘积 x ln(1+1/x) 趋近于 0 。
    情况二:x 趋近于正无穷
    我们可以使用洛必达法则来求这个极限。首先,将 y=x ln(1+1/x) 改写成 y=ln(1+1/x) / (1/x) 的形式。当 x 趋近于正无穷时,ln(1+1/x) 和 1/x 都趋近于 0 。因此,我们可以应用洛必达法则:
    lim (x→+∞) ln(1+1/x) / (1/x) = lim (x→+∞) [1 / (1+1/x) * (-1/x^2)] / (-1/x^2) = lim (x→+∞) 1 / (1+1/x) = 1
    所以,当 x 趋近于正无穷时,y 趋近于 1 。
    Wkj1998
        46
    Wkj1998  
       79 天前
    Sure, I'd be happy to help you with that advanced math problem!
    To find the limit of y = x ln(1 + 1/x) as x tends to 0 and positive infinity, we need to apply the appropriate limit laws and algebraic manipulations.

    Limit as x tends to 0:
    Let's first simplify the expression by applying the rule: lim(x→0) x ln(1 + 1/x) = lim(x→0) ln(1 + 1/x) / (1/x)
    Now, we can use the limit laws and algebraic manipulations:
    lim(x→0) ln(1 + 1/x) / (1/x) = lim(x→0) [ln(1 + 1/x)] / [(1/x)]
    = lim(x→0) [ln(x + 1) - ln(x)] / [(x + 1 - x)/x]
    = lim(x→0) [ln(x + 1) - ln(x)] / [1/x]
    = lim(x→0) [(d/dx) ln(x)] (Using L'Hospital's rule)
    = lim(x→0) 1/x
    = ∞
    Limit as x tends to positive infinity:
    lim(x→∞) x ln(1 + 1/x) = lim(x→∞) ln(1 + 1/x) / (1/x)
    = lim(x→∞) [ln(x + 1) - ln(x)] / [(x + 1 - x)/x]
    = lim(x→∞) [ln(x + 1) - ln(x)] / [1/x]
    = lim(x→∞) [(d/dx) ln(x)] (Using L'Hospital's rule)
    = lim(x→∞) 1/x
    = 0

    Therefore, the limit of y = x ln(1 + 1/x) as x tends to 0 is positive infinity (∞), and the limit as x tends to positive infinity is 0.

    Claude Sonnet
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