Diagonalization

定义 Definition

Diagonalization（对角化）：在线性代数中，把一个矩阵通过相似变换表示为对角矩阵的过程，即找到可逆矩阵 (P) 使得
[ A = P D P^{-1} ] 其中 (D) 是对角矩阵（对角线上通常是特征值）。并非所有矩阵都可对角化；能否对角化与特征值、特征向量是否“足够多”有关。

发音 Pronunciation (IPA)

/ˌdaɪəˌɡənələˈzeɪʃən/

例句 Examples

Diagonalization makes some matrix computations much easier.
对角化会让某些矩阵计算变得更容易。

If the matrix has a full set of linearly independent eigenvectors, diagonalization allows us to compute powers of the matrix efficiently.
如果矩阵拥有一组完整的线性无关特征向量，对角化就能让我们高效地计算矩阵的幂。

词源 Etymology

diagonalization 来自 diagonal（对角线的）+ 后缀 -ize（使……化）+ 名词后缀 -ation（……的过程/行为）。字面意思就是“使其变成对角线形式的过程”，在数学语境中特指“把矩阵化为对角矩阵”的操作。

相关词 Related Words

• Diagonal
• Eigenvalue
• Eigenvector
• Similarity
• Diagonal Matrix
• Characteristic Polynomial
• Jordan Form
• Linear Algebra

文学与著作中的用例 Literary Works

• Linear Algebra Done Right（Sheldon Axler）——讨论特征值/特征向量与（在一定条件下的）对角化思想。
• Introduction to Linear Algebra（Gilbert Strang）——以应用导向方式讲解对角化在计算与微分方程中的作用。
• Matrix Analysis（Roger A. Horn & Charles R. Johnson）——更深入地涉及可对角化性、谱理论与相关定理。