求助矩阵方面的计算知识

[oIMOo]

已知以下两个值：

• A * A^T 记为 alpha
• A^T * A 记为 beta

注：A 为矩阵，A^T 为 A 的转制

求：A

提示：SVD 奇异值分解

实在摸不到头脑，求大佬讲解，甚至关键词都可以。

import numpy as np

A = np.array([[2, 4],[1,3],[0,0],[0,0]])
AT = np.transpose(A)

SDu = np.matmul(A, AT) #alpha
SDv = np.matmul(AT, A) #beta

UA, ZA, VA = np.linalg.svd(A)
UAT, ZAT, VAT = np.linalg.svd(AT)

Uu, Zu, Vu = np.linalg.svd(SDu)
Uv, Zv, Vv = np.linalg.svd(SDv)

我的代码错了么？？？

np.matmul(np.matmul(Uu, Zu), Vu) != SDu

不应该啊……

https://blog.csdn.net/u012162613/article/details/42214205

linalg.svd() 的返回值省略了一部分……
我现在去找怎么恢复……

因为 SDu 是 4*4 的矩阵，所以恢复 Sigma_u:

Su = np.zeros([4,4])
for i in range(4):
Su[i][i] = Zu[i]


Sv = np.zeros([2,2])
for i in range(2):
Sv[i][i] = Zu[i]

这样确实 np.matmul(np.matmul(Uu, Su), Vu) = SDu 了

这是最新的代码。

然而注释掉的 A 可以算出正确的答案。 未注释的却不行。

import numpy as np

# A = np.array([[2, 4], [1, 3], [0, 0], [0, 0]])
A = np.array([[641, 28], [256, 621], [625, 800]])
# A = np.random.randint(0, 999, size=[3, 2])
AT = np.transpose(A)

SDu = np.dot(A, AT)  # alpha
SDv = np.dot(AT, A)  # beta

Uu, Sigmau, Vu = np.linalg.svd(SDu)
Uv, Sigmav, Vv = np.linalg.svd(SDv)

size_u,  = Sigmau.shape
size_v,  = Sigmav.shape

if(size_v > size_u):
    Sigma = np.hstack(
        (np.diag(np.sqrt(Sigmau)), np.zeros((size_v, size_v - size_u))))
else:
    Sigma = np.vstack(
        (np.diag(np.sqrt(Sigmav)), np.zeros((size_u - size_v, size_v))))

res_A = np.dot(np.dot(Uu, Sigma), Vv)

print('A:\n%s\nAnswer:\n%s' % (A, res_A))

[xml123]

不是有提示了吗……就是奇异值分解的过程啊，你找本矩阵论的书看一下奇异值分解的计算过程就知道了。

[oIMOo]

我找到了这篇文章：
https://liam.page/2017/11/22/SVD-for-Human-Beings/
其中 “如何计算 SVD ” *可能*与我的问题相关。

理想情况是：
针对 A 可以分解成 UΣV。

根据上述理想情况:
- A * A^T 可以分别分解成 UΣV * VΣU.
- A^T * A 可以分别分解成 VΣU * UΣV.

所以，还是不知道怎么求 A 啊……

相关代码：


import numpy as np

A = np.array([[2, 4],[1,3],[0,0],[0,0]])
AT = np.transpose(A)

SDu = np.matmul(A, AT) #alpha
SDv = np.matmul(AT, A) #beta

UA, ZA, VA = np.linalg.svd(A)
UAT, ZAT, VAT = np.linalg.svd(AT)

Uu, Zu, Zu = np.linalg.svd(SDu)
Uv, Zv, Zv = np.linalg.svd(SDv)

-------

另外有一篇论文。
说到：
- A * A^T = (U Σ V^T) * (V Σ^T U^T) = U Z Z^T U^T
- A^T * A = (V Σ^T U^T) * (U Σ V^T) = V Z^T Z V^T

同样使用上面的代码，可以验证这个式子。
但是，我怎么求 A ？？？
也就是说，让我只有两个乘积（ alpha、beta ）的前提下，我怎么把他们拆开？？？

[geelaw]

这个问题不完整，你显然是不可能知道 A 具体是谁的——比如 A 等于正负 1 时你拿到的两个矩阵相同。

但想要求一个 A 并不困难，你可以选 UDV'，其中 U、V 分别正交相似对角化两个你知道的矩阵，D 是奇异值。

[oIMOo]

@geelaw 谢谢您的回复。

您能具体说一下么？

对 alpha 求出对应的三个值，Uu，Zu （也就是 sigma ），Vu
对 beta 求出对应的三个值，Uv，Zv （也就是 sigma ），Vv

然后具体怎么计算 A 呢？
我卡在这个逻辑点了……

谢谢

[oIMOo]

上面代码错了

import numpy as np

A = np.array([[2, 4],[1,3],[0,0],[0,0]])
AT = np.transpose(A)

SDu = np.matmul(A, AT) #alpha
SDv = np.matmul(AT, A) #beta

UA, ZA, VA = np.linalg.svd(A)
UAT, ZAT, VAT = np.linalg.svd(AT)

Uu, Zu, Vu = np.linalg.svd(SDu)
Uv, Zv, Vv = np.linalg.svd(SDv)

[lovestudykid]

对 alpha 和 beta 分别正交对角化，然后特征值矩阵平方，特征向量矩阵分别作为奇异值分解的左右奇异向量就完事了。对角化的过程用 svd 或者 eig 都行

[oIMOo]

@xml123 @geelaw @lovestudykid

你们看最后一个 append，我真的不知道错在哪里了……
关键是如果随机生成 A 的话，有时候对，有时候不对，疯掉了……

[geelaw]

@oIMOo #7 你可以读一下下#3 的前半段。

[oIMOo]

@geelaw
我在测试的时候手动排除了这点，后续再考虑。
还有人说 A 一定要是个方阵，所以关于 A 长宽不同我也可以后续再考虑。
然而，当 A = np.array([[5, 4, 0], [3, 7, 8], [2, 8, 3]]) 也是不能计算出结果，我就一头雾水……