小学三年级数学题！用数字 1 到 8 组成两个三位数使其和为 1000

[crazybug]

#用数字 1 到 8 组成两个三位数使其和为 1000，这两个三位数里面的数字不能重复。
#问能写几组？
#用小学三年级的解题思路还真没想到。
#只好用笨方法跑个小程序了。

L=list(range(1,9))
#print(L)

s=""
S=[]
for l in L:
    for l1 in L:
    	for l2 in L:
    		if str(l)<>str(l1) and str(l)<>str(l2) and str(l1)<>str(l2):
    		    s=str(l) + str(l1) + str(l2)
    		    S.append(s)


def IsSame(a,b):
	v=True
	for al in a:
		for bl in b:
			if al==bl:
				v= False
	return v


C1000=[]
for c in S:
	v=1000-int(c)
	if str(v)[0]<>str(v)[1] and str(v)[0]<>str(v)[2] and str(v)[1]<>str(v)[2] and str(v)[2]<>'9' and IsSame(c,str(v)):
	    C1000.append(c)

#print(C1000)
#print(len(C1000))

n=1
DisplayList=[]
for i in range(len(C1000)/2):
	DisplayList.append(C1000[i] + " + " + C1000[len(C1000)-n] + " = 1000")
	n+=1

print(DisplayList)

最终结果有 24 组：

'124 + 876 = 1000', '126 + 874 = 1000', 
'143 + 857 = 1000', '147 + 853 = 1000', 
'153 + 847 = 1000', '157 + 843 = 1000', 
'174 + 826 = 1000', '176 + 824 = 1000', 
'214 + 786 = 1000', '216 + 784 = 1000', 
'284 + 716 = 1000', '286 + 714 = 1000',
'342 + 658 = 1000', '348 + 652 = 1000', 
'352 + 648 = 1000', '358 + 642 = 1000', 
'413 + 587 = 1000', '417 + 583 = 1000',
'432 + 568 = 1000', '438 + 562 = 1000', 
'462 + 538 = 1000', '468 + 532 = 1000', 
'483 + 517 = 1000', '487 + 513 = 1000'

[ynyounuo]

不要太简单
1/9 2/8 3/7 4/6 个位和十位的组合
1/8 2/7 3/6 4/5 百位的组合

加法交换律所以组合数量翻倍

8 * 3 = 24

[ynyounuo]

@ynyounuo
lol 忽略我，错误百出
不过思路大概差不多

[crazybug]

@ynyounuo ,多谢您的思路。

[casparchen]

l = ["%d+%d=1000"%(x,1000-x) for x in range(100,999) if len(set(str(x)+str(1000-x)))==6 and '0' not in str(x)+str(1000-x) and '9' not in str(x)+str(1000-x)]
print(l)

[casparchen]

l = ["%d+%d=1000"%(x,1000-x) for x in range(100,500) if len(set(str(x)+str(1000-x)).intersection(list('12345678'))) == 6]

[Valyrian]

个位 4 个选择，选完后十位三个选择，都选完后个位两个选择

[athanos]

这种数位题的要点就是进位只可能是进 1 或 0。

[Xs0ul]

“难度”在于，可能的结果太多，导致除了穷举凑 9、10 和去除重复以外，没什么合理的、靠推理的算法。而穷举，人和计算机的逻辑方式没什么差别，只是体力活。

还是那种竖式填空的比较有趣（

[vegito2002]

我个人认为这个题目推理其实并不难想, 以下推理过程虽然话比较多, 不过纯粹是为了表达的严谨, 事实上整个问题思路非常简单.

考虑这四个 pair:
[0]: 1 8
[1]: 2 7
[2]: 3 6
[3]: 4 5
我们命名为 pair[0] ~ pair[3]
比较简单的一个事实就是, 而我们要选择的是三个 digit, digit[0] ~ digit[2], 对应个位到百位;
digit[1], digit[2]都是比较简单的, 只要找到两个相加等于 9 的就行了, 事实上, 这两个 digit 上面的位置, 只要在上面 pair[0]..[3]当中选择一个就行了;
但是 digit[0]呢? 事实上, digit[0]我们需要两个 pair, 而且要两个相邻的 pair, 这是因为每一个 pair 的和是 9, 而 digit[0]需要做到的和是 10. 所以 digit[0]最后实际上要找到的就是一个 pair[i], 然后一个 pair[i+1], 然后用 pair[i][0] and pair[i-1][1]组成的一个 pair 就行了; 所以我们最后要找到两个相邻的 pair, 然后取这两个 pair 的类似于一个对角线的就行了; 注意, 当 digit[0]选择了两个 pair 之后, 这两个 pair 就无法再参与到其他 digit 的组合当中了: 这是因为剩下的 pair[i][1]只能和 pair[i][0]组合得到 9, 而 pair[i-1][0]只能和 pair[i-1][1]组合得到 9, 但是这两个姘头都已经被作为对角线拿到 digit[0]的制造当中去了;

所以最后问题简化下来就是, 先选两个相邻 digit, 找到对角线(注意, 虽然有两条对角线, 但是只有一种选择方法能够得到 10, 另一个得到的是 8), 这个有 3 中选法;
剩下的两个 pair, 就是参与到 digit[1] and digit[2]的制造当中, 因为是二对二, 所以没有选择问题了, 但是有一个排序问题, 因为你不知道谁给 digit[1], 谁给 digit[2], 所以这里有一个 2!.
然后 digit[1]和 digit[2]分别得到自己的 pair 之后, 内部还要排序, 所以是 2! * 2!.
这里有一个问题, digit[0]内部是否需要继续排序? 答案是不需要, 因为 digit[1] and digit[2]都已经排序过了, 你如果 digit[0]还重新排序, 或者说交换顺序, 最后得到的就肯定有重复;
所以最后得到的答案就是 3 * 2! * (2! * 2!);
注意最后两个 2!的含义跟第一个 2!的含义的区别, 一个是 digit 之间排序, 一个是 digit 内部排序导致的;

我不认为这个问题很弱智, 我感觉了 LeetCode 里面若干题目涉及到的数学其实也就差不多这个水平.

[vegito2002]

上面第三段第一句话有一个地方打错了的:

所以最后问题简化下来就是, 先选两个相邻 **pair**, 找到对角线(注意, 虽然有两条对角线, 但是只有一种选择方法能够得到 10, 另一个得到的是 8), 这个有 3 中选法;

[supman]

有没有完全不会做的？比如我

[a1044634486]

@supman 回去上学吧。

[glouhao]

出这个题有啥目的呢 能启发小孩子什么 a4 纸太小？我们要用超级大本子？

[est]

没人写个 minikanren 版本？

[Kenji]

@supman 现在很多小学的数学题都很难啊，一年比一年难度大很多的趋势增长，搞不好奥数全普及了，哈哈

[royrs]

可以这样考虑呀；

满足要求的两个三位数，其个位相加和为 10 ；十位相加和为 9，百位相加和为 9。

然后分为如下两组因子，一组因子是 1-8 中，相加和为 10 的因子，如下：

(2,8)，(3,7)，(4,6)

然后另一组和为 9 的因子，如下：

(1,8)，(2,7)，(3,6)，(4,5)

于是我们如果要组成两个三位数，只需要从 10 因子组中取 1 个因子，9 因子中取两个因子就可以。

但是要考虑，取 10 因子中的一组后，9 因子中包含 10 因子组的数字的因子应该被屏蔽掉，同时考虑十位百位的轮换性即可。

于是这样的组合就有：

3*2*2*2=24 种

这样算感觉最多半面 A4 纸能列举完？
(╯°□°）╯︵ ┻━┻

[sunine]

来个小学生版的

[luofeii]

个位只有三种选择
2-8
3-7
4-6

十位和百位只有四种选择
1-8
2-7
3-6
4-5

以个位选择 2-8 为例
十位的选择有两种
1-8 否 有 8
2-7 否 有 2
3-6
4-5

十位和百位的两种选择进行排练组合
有十位 3-6 对应百位 4-5 有 4 种组合
十位百位反之同样有 4 种组合

共有 3x （ 4x2 ）种组合

[crazybug]

@sunine，这个不错，可以用来给孩子讲了。

[loongwang]

/**
#用数字 1 到 8 组成两个三位数使其和为 1000，这两个三位数里面的数字不能重复。
#问能写几组？
*/
public class OneThousand {
static boolean []v=new boolean[9];
public static int robot(int idx,int x,int y){
if(idx==0)
return 1;
int ans=0;
for(int i=1;i<=8;i++){
if(v[i]==false&&v[9-i]==false){
v[i]=true;
v[9-i]=true;
ans+=robot(idx-1,i,9-i);
v[i]=false;
v[9-i]=false;
}
}
return ans;
}
public static void main(String[] args){
int sum=0;
//个位,防止重复
for(int i=2;i<5;i++){
v[i]=true;
v[10-i]=true;
sum+=robot(2,i,10-i);
v[i]=false;
v[10-i]=false;
}
System.out.print(sum);
}
}




回溯法,两个数的个位相加必为 0,非个位相加必为 9(因为有之前的进位)

[larsenlouis]

更短的笨方法

```
from itertools import combinations, permutations

pick_6_numbers = combinations(range(1,8+1), 6)
index_mappings = list(permutations(range(6), 6))
num1_set = set()
count = 0
for picked in pick_6_numbers:
for a,b,c,d,e,f in index_mappings:
num1 = 100 * picked[a] + 10 * picked[b] + picked[c]
num2 = 100 * picked[d] + 10 * picked[e] + picked[f]
if num1 + num2 == 1000:
num1_set.add(num1)
if num2 not in num1_set:
count += 1
print('{} + {} = 1000'.format(num1, num2))
print('total: {}'.format(count))
```

[liuminghao233]

卧槽写出其中一组还算正常

问能写几组就有点过分了

[sunine]

@crazybug 讲的时候把千位数百位数改成百位数十位数，之前写得太快没注意[捂脸]

[Telegram]

@liuminghao233 #22 对，现在小学生的题目感觉都是大题。

[sevenknights]

/*有推理的功夫直接穷举得了*/
main(a, c, s){
for(char r[32]; sprintf(r, "%d + %d", a, 1000 - a) && a++ < 500;)
for(s = 0, c = '1'; c < '9'; ++c)
if((s += !!strchr(r, c)) == 6)
printf("%s = 1000 \n", r);
}