一个数学问题求解

[ysmood]

假设生男孩女孩的概率相同，每对夫妇会不断生孩子直到生出第一个女孩子，那么在有足够多的夫妇的情况下，最后男孩女孩比例是多少？

求简洁易懂的数学证明。

写了段代码，感觉是 1 ，但是没有想到简单的数学证明。

var count = 10000;
var boy = 0;
var girl = 0;

while (count--) {
    while (Math.random() < 0.5) boy++;
    girl++;
}

console.log(boy / girl); // 约等于 1

[lance6716]

几何分布…现在码农都不上高中的吗

[icecoffee]

几何分布?

[xwander]

不过以什么为结束生育的条件,男女比例都是 1:1

[skydirewolf]

伯努力实验，孩子数量呈几何分布，好像在哪见过这个问题

[hinkal]

3L 正解。你可以这样理解，每个夫妇都是从上帝那里取孩子，上帝生产孩子的男女比是 1 。因此不管你让多少人按什么规则取，都是 1

[a87150]

简单的数学证明： 50%+50%=1

[a87150]

@a87150 写错了，是除

[debiann]

把所有夫妇想成同一对夫妇，所有队列连成一个队列，很容易想明白，没什么区别

[Kilerd]

@a87150 加 也是 1

[binux]

Math.random() 是独立事件

```
while (count--) {
while (1) {
var rand = Math.random();
if (rand < 0.5) {
boy++;
} else {
girl++;
}

if (rand >= 0.5) {
break;
}
}
}
```

这样能看懂了吧，不管 break 条件是什么，前面的语句都是独立的。

[guyskk]

设生育次数为 X ，生男孩概率 p=1/2 ，生男孩的次数为 X-1 。则生育次数服从几何分布，生育次数的期望 E(X)=1/p=2 ，生男孩次数的期望 E(X-1)=1 ，所以男女比例是 1:1 。

[Akarin]

> 每对夫妇会不断生孩子直到生出第一个女孩子。

这个条件是无效的，并不会干扰到男女比例的结果。

你可以这么认为。不断产生孩子，生男就分配给上一对夫妇，生女就 new 出一对新的夫妇。

[Yvette]

假设生男孩女孩的概率相同，每对夫妇会不断生孩子直到生出第一个女孩子，那么在有足够多的夫妇的情况下，最后男孩女孩比例是多少？
假设生男孩女孩的概率相同，每对夫妇会不断生孩子直到生出第一个男孩子，那么在有足够多的夫妇的情况下，最后男孩女孩比例是多少？

很明显这两个问题一起看就知道答案了

[Exin]

@Akarin 你这个角度最有意思，好懂

[Mutoo]

若不对生育干预，每次生育都是独立事件，生男生女概率都是 50%，这道题的结果是 1:1 。因为对整体而言，孩子是谁生的无关紧要。但是在重男轻女和计划生育的双重压力下，有选择的生育（将女婴人工流产导致生男生女概率不均衡）会导致最终男女比例失调。
参考「 为什么现在男女比例不是 1:1 ？」 https://www.zhihu.com/question/22104107

[SoloCompany]

你会有男孩子多的错觉是因为第一胎就是女孩的都被你无视了
只要是自然选择（不能通过人为手段杀死胎儿）
无论规则怎么定，概率都是 50%

[owt5008137]

可以这么理解，无论采取什么样的策略，最终生了 N 胎吧？那平均概率不就是 2/N ： 2/N

[innoink]

每对夫妇 生不出 男孩子的概率是 50% 也就是头一胎生出女孩子的概率 只有这一种情况

这么说应该很明确了

[malusama]

高中生物会考……肯定有这种题吧

[vjnjc]

这个不是随机过程么？我大学才学的，学过懂过忘记怎么证明了 : )

[programgou]

想了一下，用最基本的概率知识就可以解决这个问题。

我们不妨先求(~） [所有的夫妇平均生的孩子的个数] 吧，为了求出（~），我们先考虑样本空间，并且给每个样本点赋予概率值。我们用 0 表示女孩子， 1 表示男孩子，首先列出样本点：
0
10
110
1110
...
每一行代表一对夫妇生的孩子的总数，我们分布用 w1,w2,w3,...,wn 表示。现在考虑 w 的概率，由于 0 和 1 是等概的，所以 P(w1) =1/2 。又因为样本空间总概率为 1,所以剩下的{w2,w3,...,wn}概率为 1-1/2=1/2 。我们再考虑 w2,w2 的概率 P(w3)显然是 1/2-1/2*1/2=1/4 (由于 0 和 1 是等概的)……依此类推， w3,w4,...,wn 的概率 P(w3),P(w4),...,P(wn)分别是 1/8,1/16,...,1/2^n 。接下来我们求(~),(~)实际上就是数学期望，因此，

(~)=Σn*P(wn) = Σn*1/2^n = 2

因此最后所有夫妇平均剩下两个孩子。又由于男孩女孩是等概的，所以，男女比例还是 1:1 。白忙活一场...
证明完毕。

[programgou]

@Yvette 你这个思路很好很好，第一种情况， [每对夫妇会不断生孩子直到生出第一个女孩子] ，第二种情况， [每对夫妇会不断生孩子直到生出第一个男孩子] ，第一种情况+第二种情况=所有情况。因此最后男孩多还是女孩多，取决于每种情况的最后一个孩子，即男女概率，然而男女等概的，所以结论是 1:1 。