Second Derivative

Definition / 定义

second derivative：二阶导数。指对一个函数的导数再求导得到的结果，常写作 (f''(x)) 或 (\dfrac{d^2y}{dx^2})。它常用来描述变化率的变化：例如位置函数的二阶导数对应加速度；在图像上常用于判断曲线的凹凸性与拐点（配合其他条件）。

Pronunciation / 发音

/ˈsɛkənd dɪˈrɪvətɪv/

Examples / 例句

The second derivative tells you whether the graph is concave up or concave down.
二阶导数能告诉你图像是向上凹还是向下凹。

If the second derivative is positive near a critical point, the function typically has a local minimum there; if it is negative, it typically has a local maximum.
如果在某个临界点附近二阶导数为正，函数通常在那里有局部最小值；若为负，通常有局部最大值。

Etymology / 词源

derivative 源自拉丁语 derivare，本义与“引出、派生”相关；在数学中引申为“从原函数‘派生’出的量”，即导数。second derivative 是在此基础上表示“第二次求导”的组合说法，属于微积分中的常用术语。

Related Words / 相关词

• Derivative
• First Derivative
• Differentiation
• Concavity
• Inflection Point
• Critical Point
• Acceleration
• Second Order

Literary Works / 文学作品

• Calculus（Michael Spivak）——讨论二阶导数与凹凸性、极值判别等经典内容。
• Calculus: Early Transcendentals（James Stewart）——以大量例题使用“second derivative”讲解二阶导数检验法。
• Calculus, Vol. 1（Tom M. Apostol）——系统化呈现二阶导数在函数性质分析中的作用。
• Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica（Isaac Newton）——虽用词与记号与现代不同，但在运动定律语境中对应到“二阶变化”（与加速度相关）的核心思想。