Residue Theorem

释义 Definition

留数定理：复分析中的一个核心定理，用来把某些闭合路径上的复变函数积分转化为路径内部各个孤立奇点的留数之和，从而快速计算复杂的积分（尤其是围道积分与许多实积分）。

发音 Pronunciation (IPA)

/ˈrɛzɪˌdjuː ˈθiːərəm/

例句 Examples

The residue theorem helps us evaluate complex contour integrals quickly.
留数定理帮助我们快速计算复平面上的围道积分。

Using the residue theorem, she computed the real integral by extending the function into the complex plane and summing residues at the poles.
她利用留数定理把函数延拓到复平面，通过对各个极点的留数求和来计算这个实积分。

词源 Etymology

residue 来自拉丁语 residuum，意为“剩余物、残留”；在复分析里“留数”可理解为某种“剩下的关键信息”（例如 Laurent 展开中与 (1/(z-a)) 对应的系数）。theorem 来自希腊语 theōrēma，意为“可被观察/思考并加以证明的命题”。合起来 residue theorem 就是“关于留数的定理”。

相关词 Related Words

• Analytic
• Contour
• Integral
• Pole
• Singularity
• Laurent
• Cauchy
• Argument

文学与经典著作 Literary Works

• Complex Analysis（Lars Ahlfors）——复分析经典教材，系统讲解留数与留数定理的应用。
• Complex Analysis（Elias M. Stein & Rami Shakarchi）——以分析视角呈现留数定理，并与傅里叶分析等主题联系紧密。
• Complex Variables and Applications（James Ward Brown & Ruel V. Churchill）——工科与应用导向教材，含大量用留数定理计算实积分的例题。
• Theory of Functions（E. C. Titchmarsh）——更偏理论的经典著作，留数思想在解析函数理论中反复出现。