Lebesgue Space

定义 Definition

Lebesgue space（勒贝格空间）通常指以勒贝格测度为基础建立的函数空间，最常见的是 (L^p) 空间：由在某个区域上“按 (p) 次幂可积”的可测函数（按几乎处处相等视为同一函数）组成，并配以范数
[ |f|p=\left(\int |f(x)|^p,dx\right)^{1/p}\quad (1\le p<\infty), ] 以及 (|f|\infty=\text{ess sup }|f|)。它是现代实分析、偏微分方程与泛函分析中的基础工具。（更广义时也可指带一般测度的 (L^p(\Omega,\mu)) 空间。）

发音 Pronunciation (IPA)

/ləˈbɛɡ speɪs/

例句 Examples

A Lebesgue space like (L^2) is useful for studying signals and Fourier series.
像 (L^2) 这样的勒贝格空间对研究信号与傅里叶级数很有用。

In many PDE problems, we first show the solution lies in a Lebesgue space (L^p(\Omega)), then improve its regularity using additional estimates.
在许多偏微分方程问题中，我们先证明解属于勒贝格空间 (L^p(\Omega))，再利用额外估计提升其正则性。

词源 Etymology

Lebesgue 来自法国数学家 Henri Lebesgue（亨利·勒贝格） 的姓氏。他在 20 世纪初系统发展了勒贝格测度与勒贝格积分，从而自然产生了以“可积性”为核心的 (L^p) 函数空间；space 表示“空间/集合结构”，强调这些函数在范数与极限意义下可进行分析。

相关词 Related Words

• Measure
• Lebesgue Measure
• Integral
• Measurable Function
• Lp Space
• Norm
• Banach Space
• Hilbert Space
• Almost Everywhere
• Sigma-algebra

文学与经典著作 Literary Works

• Real and Complex Analysis（Walter Rudin）中频繁使用 (L^p)（勒贝格）空间讨论积分与收敛。
• Measure Theory（Paul R. Halmos）系统介绍测度与 (L^p) 空间框架。
• Functional Analysis（Walter Rudin）以勒贝格空间为例讲解巴拿赫空间、对偶空间等概念。
• Fourier Analysis: An Introduction（Stein & Shakarchi）用 (L^p) 语言表达傅里叶分析中的核心结论。