Galois Connection

定义 Definition

Galois connection（伽罗瓦联络/伽罗瓦对应）是序理论与范畴论中的一种结构：给定两个偏序集 (P, Q)，一对保序（或反序）映射 (f: P \to Q) 与 (g: Q \to P) 满足
[ f(p) \le q \iff p \le g(q) ] 则称 ((f,g)) 构成一个 Galois connection。它常用来在两种“描述体系”之间建立可逆的对应关系（在不完全可逆时仍保留“最佳近似”意义），广泛用于闭包算子、概念格（Formal Concept Analysis）与伴随（adjunction）等主题中。

发音 Pronunciation (IPA)

/ˈɡæl.wɑː kəˈnɛk.ʃən/

词源 Etymology

Galois 来自法国数学家 Évariste Galois（埃瓦里斯特·伽罗瓦）的姓氏；“connection”意为“联结/对应”。该术语用来强调两套结构（常见为两个偏序或两个范畴）之间存在一种互相制约、彼此对应的关系，历史上与“伽罗瓦理论”中“结构—对应”的思想一脉相承，但现代用法主要落在序理论与范畴论语境。

例句 Examples

A Galois connection links two ordered sets through a pair of monotone maps.
伽罗瓦联络通过一对保序映射把两个有序集合联系起来。

In formal concept analysis, a Galois connection between objects and attributes generates closure operators and yields a concept lattice.
在形式概念分析中，对象与属性之间的伽罗瓦联络会诱导闭包算子，并产生概念格。

相关词 Related Words

• Adjunction
• Closure
• Lattice
• Order
• Monotone
• Antitone
• Residuation
• Concept Lattice

文学与著作 Literary Works

• Categories for the Working Mathematician（Saunders Mac Lane）：在“伴随函子（adjoint functors）”相关章节中与 Galois connection 的思想紧密相连。
• Introduction to Lattices and Order（B. A. Davey & H. A. Priestley）：以序与格为背景系统讨论伽罗瓦联络及其与闭包/核算子的关系。
• Formal Concept Analysis: Mathematical Foundations（Bernhard Ganter & Rudolf Wille）：以对象—属性的 Galois connection 为核心构建概念格理论。