Change of Variables

释义 Definition

换元 / 变量代换：在数学（尤其是微积分、积分、微分方程、概率论）中，把一个或多个变量用新的变量来替代，以简化表达式或计算、改变积分区域/形式，或让问题更容易处理。常见做法是进行“代入（substitution）”，并在积分中配合雅可比行列式（Jacobian）进行修正。此短语在一般语境中也可指“改变参数/条件”，但最常见用法是数学意义。

发音 Pronunciation (IPA)

/tʃeɪndʒ əv ˈvɛəriəbəlz/

例句 Examples

We used a change of variables to make the integral easier.
我们用了换元法，让这个积分更容易计算。

In the double integral, a change of variables from ((x, y)) to ((r, \theta)) simplifies the region, but you must include the Jacobian.
在二重积分中，把 ((x, y)) 换元为 ((r, \theta)) 能简化积分区域，但必须乘上雅可比因子。

词源 Etymology

change 来自古法语 changier（改变、交换），与拉丁语 cambiare（交换）相关；variable 源自拉丁语 variabilis（可变化的），来自 variare（改变、使不同）。合起来的 change of variables 直译为“变量的改变”，在数学写作中逐渐固定为“换元/变量代换”的术语。

相关词 Related Words

• Substitution
• Transform
• Coordinate
• Jacobian
• Integral
• Differential
• Mapping
• Parameter

文学与著作 Literary Works

• Calculus（James Stewart）——在积分技巧与多重积分章节中系统使用 “change of variables”。
• Calculus（Michael Spivak）——以更偏证明的方式讨论换元思想与严格推导。
• Calculus, Vol. 1（Tom M. Apostol）——涵盖单变量与多变量情形下的变量代换。
• Principles of Mathematical Analysis（Walter Rudin，《数学分析原理》）——在分析与积分的严谨框架中出现相关表述与思想。